guimow 在近几十年里，数字信号处理技术取得了飞速发展，特别是自适应信号处理技术。自适应波束形成算法通过对内部参数的最优化来自动改变其特性，在统计信号处理的应用中都具有重大的应用价值。本文主要对基于训练序列的自适应波束形成算法展开研究和讨论，通过算法原理、算法性能和仿真结果分析来说明其各算法的优越性。
首先对智能天线的基本原理进行了简单的介绍，分析其实现方式。在此基础上，对当前自适应信号处理中典型的非盲算法——最小均方算法(Least Mean Square,LMS)、变步长LMS算法、递归最小二乘算法(Recursive Least Square,RLS)以及采样矩阵求逆法(Sample Matrix Inversion,SMI)，作出原理上的介绍和分析，并用MATLAB实现算法仿真。在各个算法中，通过对收敛性能、天线方向图的生成情况等方面进行比较，对算法性能进行论述和总结。
1.1课题背景
由于信流量和数据速率的不断提高，全球移动通信和无线通信事业的发展态势良好，因此，对于通信系统的资源利用率的要求，也在日益苛刻。与此同时，在时域、频域、码域等各方面资源被充分挖掘之后，人们对提高无线通信系统的容量产生了较为迫切的需求，因此，研究者把目光就投向了新的额方向——空域资源，对空域资源进行开发，智能天线由此应运产生。
如今，随着4G技术趋于成熟，5G技术逐渐普及，具有卓越优点和优越性能的智能天线帮助了无线网络运营商，进一步满足用户需求、服务社会的同时，实现了两个具有相当价值的目的——提供了更高的数据输速率和增加网络的容量。
智能天线的基本概念，是在移动通信环境条件下，由于复杂的建筑物结构、地形等会对电波的传播造成影响，并且相当数量的用户之间产生的相互作用，也会导致时延扩散、瑞利衰落、信道干扰、多径等问题产生，从而导致通信质量将受到影响。
如果采用智能天线，将可以有效地解决上述这些问题。智能天线的基本思想，是采用空分多址技术，并利用信号在不同传输方向上产生的差别。实现时将根据某个接收准则，或自适应算法调节，让天线阵产生定向波束，并指向用户，同时，智能天线将能够自动地调整权重系数，葱而达到实现所需空间滤波的目的。
其中，需要解决的两个关键问题，一是辨识信号的方向，另一个则是自适应赋形的实现。
智能天线受到越来越多运营商重视，并且将智能天线作为改善系统性能的关键技术，究其原因，则是在于其独特的技术优势[1]。
（1）智能天线能够提高信号的干扰比，有效改善通信质量。
智能天线采用主瓣接受和发射期望信号，旁瓣和零陷抑制干扰信号，从而达到抑制干扰、提高输出信噪比的目的。同时，智能天线对于移动系统中的多径干扰也有一定的削弱作用，综上，智能天线可以有效改善通信质量。
（2）智能天线能够增加系统容量，提高同一时间通信的用户数量。
智能天线采用窄波束接收和发射期望信号，这样就降低了其他用户信号的干扰，因此增加了自干扰的CDMA系统的系统容量。由于任一用户所获得的信噪比改善，将均可直接转变为对用户更大的吞吐量，这也意味着系统容量的增加[2]。
（3）智能天线能够扩大通信覆盖范围区域，从而提高频谱利用率。
基站的波束形成可以对期望移动台进行定向的接收和发射，智能天线相比于传统全向天线，形成的波束具备更高的增益；因此，在相同的发射功率的情况下，智能天线的辐射能量比较集中，从而使辐射范围更广。同时，采用SDMA技术进行信道复用，频谱利用效率获得了极大提高。
（4）智能天线能够降低基站发射功率，减少电磁环境污染。
智能天线相比于传统全向天线，形成的波束具备更高的增益，可以减少对功放的要求。在同样的辐射范围内，智能天线的发射功率是远小于全向天线的，降低了基站的发射功率也就意味着减少了电磁污染。
截止目前，很多智能天线的自适应波束形成算法被各国学者相继提出。波束形成算法依照基于对象的不同，可以分为三类：
（1）基于波达方向（Direction of Arrival，DOA）估计的自适应波束形成算法。这类算法也可以细分为两类。第一类算法已知参考信号方向。这时可以直接根据合适的准则（如最小均方误差准，最小二乘准则等）对权值进行计算。第二类算法未知参考信号方向。这时可根据多重信号分类（Multiple Signal Classification，MUSIC）等方法来实现信号的DOA估计。这类算法分析起来非常直观，但是依旧有运算量较大、对误差较为敏感等方面的问题。
（2）基于训练序列的自适应波束形成算法。这类算法不需要进行DOV估计，同时也对天线本身的结构没有过多要求。同时也存在一定的问题，就是训练序列需要经历载波的先验和符号的恢复过程，如果有同信道干扰，这一过程的实现将变得十分不易，且训练序列会使频谱的利用率有一定程度的降低。
（3）基于信号结构的自适应波束形成算法。该类算法在进行权值计算的时候会充分利用信号的各种时域特性，不需要进行DOV估计，对误差的敏感度不高。但是，这类算法的缺点也很明显，就是收敛速度相对较慢。
1.2自适应波束形成的发展现状
20世纪60年代末，自适应信号处理技术的理论被提出，自此该理论就成为了阵列信号处理的研究重点，相关技术也随之逐渐成熟。自适应信号处理技术的开端在1965年，Howells提出自适应陷波的旁瓣对消器[1]。1967年，最小均方（Least mean square,LMS）算法[2]被Widrow提出，该算法是基于训练序列的自适应波束形成的最经典算法。1976年，Applebaum提出了最大信干噪比（Signal to Interference plus Noise Ratio,SINR）算法[3]。紧接着，多重信号分类（Multiple Signal Classification,MUSIC）算法在1979年被提出。1986年，Gabriel提出了自适应波束形成的术语“智能阵列”，自适应波束形成技术开始逐步系统化。
从1978年开始，军用通信系统中逐步开始普及阵列信号处理技术。直到1990年，天线阵列在蜂窝式通信中得到使用，意味着自适应波束形成技术真正实现了在军用和民用领域的共同普及。
随着几十年如一日的理论研究，自适应信号处理技术得以飞速发展，经典算法的改进算法层出不穷，使经典算法具有了更优越的性能。与此同时，大量新的自适应波束形成算法也被陆续提出。
直到现在，4G技术趋于成熟，5G技术逐渐普及，现有的通信系统对阵列天线波束形成技术的稳定性和适应性提出了进一步的要求，因此该技术在未来依旧具备巨大的研究潜能。
1.3论文结构
本课题主要聚焦于理论方面的研究，重点研究了基于训练序列的智能天线自适应波束形成算法。
本文分为四部分。第一部分介绍智能天线技术的研究背景，自适应波束形成技术的发展历史，以及波束形成算法的研究现状；第二部分对智能天线和自适应波束形成的基本原理进行了简单介绍，着重分析自适应波束形成的实现方式；第三部分阐述了智能天线自适应波束形成算法，重点研究了LMS算法、RLS算法及SMI算法三种经典的基于训练序列的自适应波束形成算法，作出原理上的介绍和分析，并用MATLAB实现算法仿真。在各个算法中，通过对收敛性能、天线方向图的生成情况等方面进行比较，对算法性能进行论述和总结；第四部分介绍了三类变步长LMS算法，再将其与经典固定步长LMS算法的相关性能进行比较。
第2章智能天线及自适应波束形成的原理
2.1引言
无线移动通信给人们的生活带来了极大的便利，人们对于这项技术的要求也逐渐增多，对于相关技术衍生产品的质量诉求也日益增长。本章主要介绍智能天线技术和其在国内外的发展现状，以及对自适应波束形成原理这一关键技术进行了一定程度的研究和阐述。
2.2智能天线
无线移动通信给人们的生活带来了极大的便利，人们对于这项技术的要求也逐渐增多，对于相关技术衍生产品的质量诉求也日益增长。这些需求的变化也促使着无线通信技术进行不断的变革，其中有很多技术作为重要支撑也随之不断变化，智能天线技术就是第三代通信技术中极为重要的一环。
2.2.1智能天线的发展过程
智能天线技术作为一项物理层技术，依靠的是自动调控参数来应对不同电磁环境，从而达成稳定处理空域信号的目的。这项技术的不断完善与发展依托的是各种理论的不断完善与创新，其中，阵列方向图理论是智能天线得以发展的基石。阵列天线中的阵列方向图理论主要落脚点在于效率的大幅度提升，能够通过整合输出信号的幅度与相位，通过加权处理后使得输出信号能够传递有效指令，大幅度集中辐射能量到指定区间，这样天线的有效工作距离得到了大幅度提升，效率的提高也意味着浪费的减少，这也在一定程度上使得其他污染电磁的大幅度缩减。这项理论的完善使得智能天线拥有更加高效的信息输出，也能够迈入第三代通信技术的舞台。
紧接着自适应波束形成理论也逐步发展完善起来，这项理论的进步也帮助智能天线进一步得到优化。智能天线本身具有覆盖范围广的优势，而通过波束的指向性能够排除其他干扰，提高频谱利用率[4]。自适应波束形成技术能够及时根据环境变化调整阵列天线所形成的波束，防止其他干扰信号影响波束信息传递，面对不同情况能够选择合适的波束状态，这项技术使得智能天线拥有更加稳定的信号处理方式，在面对复杂多变的环境也能够保持最佳状态。自适应波束形成依照基于对象的不同，可以依照基于对象的不同，可以分为三类将其进行简略分类：可以是通过先验知识将其分为为盲算法和非盲算法，通过是否需要波达方向（Direction of Arrival，DOA）估计可以分为需要DOA估计的算法和不需要DOA估计的算法，通过是否需要反馈量可以分为开环算法和闭环算法[5]。这其中数字技术的快速发展为波形束在数字域实现拥有了基石，也就意味着智能天线技术能够从理论越到物理基础上进一步进行发展。
直到20世纪90年代初，智能天线才开始系统化的发展，移动通信技术也随之飞速成形。直到现在，4G技术趋于成熟，5G技术逐渐普及，智能天线帮助无线网络运营商进一步满足用户需求、服务社会的同时，实现了两个具有相当价值的目的——提供了更高的数据输速率和增加网络的容量。
2.2.2智能天线技术的应用现状
智能天线技术拥有诸多优点，在抗衰落、抗干扰、增加系统容量等方面有着出色表现，由于其能够根据环境调整选择最佳状态，在各种领域都有较为广泛的应用。
智能天线几个典型的应用方面有FDMA、CDMA、TDMA、DECT、PHS和无线本地环路系统。FDMA系统中主要是利用智能天线技术在覆盖区间以及容量方面进行优化，覆盖更广意味着能够减少减少基站建设，在经费上得以缩减，同时还能够稳定网络，降低掉线和切换失败的概率，提升服务质量。在CDMA系统中主要是突出智能天线稳定并且能够灵活应变的优势，通过波束形态改变选择指定方向来切换控制，同时能够合理分配话务扇区容量。在TDMA系统中智能天线可以适当解除无线能量在时空上受到的约束，在服务质量和系统容量方面也有所提升。而在DECT、PHS等系统中，欧洲和日本方面进行了一系列测试，认为智能天线技术的加入能够减少基站数量，在成本方面也能有所缩减。在无线本地环路系统中，则是能够通过接受与发射端的优化来进一步提升双端效率，通信质量有所稳定，能够通信的区域有所扩大。
智能天线技术作为我国第三代移动通信的重心，拥有着其他技术无法比拟的优势，这些优势如果能更加契合的运用到各项技术中去，那么将能够带来更加便捷的通信世界。
2.2.3智能天线的基本理论
智能天线的主要原理是通过波束形态变化达成定向传导，要让其中主要波束与用户信号波达方向接轨，其他干扰信号能够被排除。虽然用户处于不同的空间位置，但是传达的信号互相之间不受干扰，这种准确对口主要依靠于阵列天线技术，能保持轨道唯一性，很大程度上保证频谱的利用效率，在质量与容量上都有所保证。其中阵列信号处理就是对各种信号进行归类，利用其相位和幅度进行整合，使特定符号能够传导到特定接受者处，从列阵天线指向性来看就是把波束与指定目标对应，零陷与干扰对应，结合对应算法达成阵列天线的主瓣追踪目标位置的要求，完美追踪用户信号。
（1）智能天线的主要组成部分。智能天线系统由天线阵列，模数转换器（Analog-to-Digital Converter，ADC）和波束形成网络三大部分组成[6]。
阵列天线中能够影响到其阵列性能的因素就是阵元数量，一个M阵元的天线阵列最多可以形成M-1个波束，它的窄波束和其阵元数量是正相关的关系，而波束正是追踪用户的关键点，这就表明阵元更多的情况下能够更好的接洽用户，能够更加轻易分辨处于不同空间位置的用户，大大提升准确率。同时阵元不仅仅有数量上的差别，在排列方式上也会有很大的不同，这也会影响到阵列性能。ADC在整个系统中也是很重要的组成部分，它会对所有收集过来的信号进行样本采集，经过这一步处理后信号才会传递到下一步的处理中去。波束形成网络则是最关键的部分，它会对经过ADC处理转换为数据的信号进行加权求和，得出求和后的权值，再通过权值对比生成适合的波束输出，完成与对应目标的对接，同时排除干扰信号的影响。它也能够合适选择和调整权值，释放恰当波束，让波束可以稳定追踪用户。
（2）智能天线的分类。智能天线的区分主要在权值矢量的变化，由此可以分为多波束和自适应波束形成两种智能天线。
多束波是指已经预设了多组不同方向的波束，再根据要接收目标的波达方向选取最佳波束进行输出，这种类型的计算方式优点就是简便快捷，可以提供一定便利，但是所暴露的缺点也十分明确波束预设显然无法囊括所有情况，目标信号要是处于波束边缘范围，那么无法完成完美对接，这也表明，多波束智能天线不能够很好的将零陷对接干扰，无法保证稳定与准确。
由于多波束存在这种情况，人们进一步研究出了自适应智能天线，刚好弥补了多波束智能天线抗干扰能力弱，分辨率有限制的问题，自适应智能天线就是通过不同阵元接收信号来判断目标信号空间坐标，进一步计算来追踪目标信号，通过这种随不同情况而进行调整的方式来完美达成信号的传输。
2.3波束形成技术的基本原理
波束形成系统需完成的任务是让主瓣能与期望信号对准，并在干扰方向产生零陷，具体表现在两个方面：第一，在期望方向形成主波束；第二，得到精度足够高的目标分辨率以及准确的波达方向。
将阵列信号模型简化后进一步分析，假设为均匀线阵模型，如图2-1所示。
图2-1均匀线阵模型
假设有个信号被天线阵列接收，其中只有一个期望信号，其余J个信号都是干扰信号。将期望信号的入射角度表示为，用，，…，表示干扰信号的入射角度。则接收信号表示为：
（2-1）
其中
（2-2）
是一个维的信号矢量，表示个干扰信号和一个期望信号。
（2-3）
是一个均值为0，方差为的维矢量，表示噪声。
（2-4）
则阵列导向矩阵表示为：
（2-5）
其中为期望信号的导向矢量，个干扰信号的导向矢量为，…，。
（2-6）
式中，（k=d,1,…J）。
则输出信号表示为
（2-7）
其中权向量。
所以将波束指向时，得到权值w为
（2-8）
式中。
此时波束形成图为：
（2-9）
由上述公式可得，当时，天线的增益最大，所以改变的值可以达到调整波束指向的目的。
2.4自适应波束形成算法的发展现状
自适应波束形成天线阵列的核心就是自适应算法。在波束形成的过程中，自适应波束形成算法将被用以调整权向量。当环境发生变化时，选择特定的自适应算法，就确定了波束自适应的反应速度和控制能力，以及实现算法的复杂程度。
2.4.1自适应波束形成算法的分类
调整加权系数是自适应波束形成的主要目的。根据波束类型，可以分成两类，包括常规波束和自适应零陷波束。
常规波束形成可进一步理解为在相应的约束条件下的最优化问题，在求加权系数时，通常会采用合适的优化方法。近年来，在赋形波束综合问题上，遗传算法、粒子群算法都已经得到应用。常规波束主要用于固定波束切换的智能天线系统，并且拥有响应快的特点，通常在主瓣方向对阵列增益进行集中，以此扩大覆盖范围。其缺点是无法随环境变化作出动态的响应，这就意味着常规波束形成算法受到阵列误差的影响较大，抑制干扰的能力有限。
自适应零陷波束则会参照一定的准则，自动调整权向量使得天线主瓣朝向有用信号，并让零陷对准干扰方向，要求输出信号的强度足够大，同时干扰信号的强度足够小，从而提高阵列输出的信噪比。
自适应波束形成算法按是否需要发射参考信号或在发射信号中包含训练序列，可以分成两类，即非盲算法和盲算法。
其中，非盲算法则指的是在发送的信号中包含显式的、在接收端已知的训练序列的波束形成算法。它的基本特点是在信号接收端利用已知的训练序列进行实时估计，从而计算出权向量。典型的非盲算法有LMS、SMI、RLS等。
盲自适应波束形成算法则指的是在波束形成算法中，不需要发射参考信号，也不需要训练序列，仅通过对信号本身所具有的特性进行充分利用，达到自适应地完成波束形成的目的。这些特性包括空域特性、频域特性、时域特性。典型的盲算法有CMA算法。
除了上述经典算法以外，为了追求更高效、快速、稳定的算法性能，满足用户的需求，研究者做了更多努力。自适应算法的发展因此拥有了很大的飞跃，以下算法[7]均可运用于不同情况下的自适应波束形成中。
（1）基于LMS、RLS的改进算法
最小均方算法作为最经典的波束形成算法，目前有两个研究重点：变步长LMS算法和变换域LMS算法。变步长LMS算法的主要研究方向，是对自适应过程中的误差信号进行充分利用，在它与步长之间建立某种函数关系，从而提高算法的收敛速度，同时减小失调量。变换域LMS算法的基本原理，是通过正交变换将时域信号转化成变换域信号，然后在该变换域中完成自适应过程。
除了这两大类LMS算法的改进算法之外，还有LMS牛顿算法、分块LMS算法、混合LMS算法、高阶误差LMS算法以及基于U-滤波LMS算法等。
对于RLS算法的研究，目前主要集中在如何减少计算复杂度和解决数值稳定问题等领域上。主要改进算法包括RLS快速算法、快速递推最小二乘格型等算法、自适应格型RLS算法等。
（2）基于QR分解的自适应算法
QR分解方法的优点是数值稳定性高、收敛速度快，利用QR分解，可以让输入数据矩阵对角化，是一类重要的自适应算法。
（3）基于神经网络的自适应算法
神经网络的本质是高度非线性的动力学网络系统，其优势在于这类算法具有较强的自学习性、巨量并行性、自组织性、存储分布性和结构可变性，能够很好地解决非线性信号处理问题，是一个相当有价值的研究方向。
（4）基于高阶累积量的自适应算法
由于高阶累积量对高斯噪声具有抑制作用，因此能够很好的处理观测信号的二阶统计量。其突出优点在于能够显著提高阵列信号处理的分辨率。
2.4.2自适应波束形成准则
自适应波束形成基于不同的准则来进行权向量的更新。其中，常用的几种准则有：最小均方误差（Minimum Mean Square Error,MMSE）准则，最小二乘（Least Squares,LS）准则，最大信噪比（Maximum Signal to Noise Ratio,Max SNR）准则，线性约束最小方差（Linear Constrained Minimum Variance,LCMV）准则，最大似然比（Maximum Likelihood Ratio,LH）准则及最小噪声方差（Minimum Noise Variance,NV）准则等[8]。
限于篇幅，下文主要对最小均方误差（MMSE）准则及最小二乘（LS）准则进行介绍。
（1）最小均方误差准则
由B.Widrow等人首先提出的最小方差误差（MMSE）准则，是一种被广泛运用的最优化准则，通常用于波形估计、多用户检测、检测和系统参数辨识等许多领域。
最小方差误差的代价函数为：
（2-10）
其中，，为采样周期。
这个式子代表着第ｋ个信号的阵列输出与该信号在时刻ｆ的估计值的误差平方的期望值，展开这个式子我们可以得到：
（2-11）
（2-12）
其中，R是输入向量的自相关矩阵：
（2-13）
P是期望信号与输入向量之间的互相关矩阵
（2-14）
令代价函数梯度为零，可以得到令最小的解为，即：
（2-15）
将函数解称为维纳（wiener）解。
（2）最小二乘准则
最小二乘（LS）准则指的是通过选择合适的权值，使之后的二次方误差累积和的代价函数最小，最小二乘（LS）准则的能函数为：
（2-16）
（2-17）
数据矩阵可定义为
（2-18）
期望信号向量为
（2-19）
此时LS梯度函数等于零的解为
（2-20）
2.5本章小结
智能天线的核心技术是自适应波束形成技术，本章首先介绍智能天线技术和其在国内外的发展现状，接着对智能天线组成和分类以及自适应波束形成原理进行了一定程度的研究和阐述。其中，自适应波束形成的关键就是波束形成算法，波束形成算法也对天线阵列系统性能的完善性起着至关重要的作用。然后对目前比较典型的自适应波束形成算法进行了介绍，并重点研究了两大波束形成准则：最小均方误差（MMSE）准则及最小二乘（LS）准则，为后续对基于训练序列的自适应波束形成算法的研究打下基础。
第3章自适应波束形成经典算法
3.1引言
自适应阵列天线的核心部分就是自适应波束形成算法。因为自适应算法决定着自适应响应的速度，同时其复杂度也将直接决定硬件实现时的电路复杂度，所以自适应算法对整个自适应波束形成过程的重要性是不容忽视的。上一章介绍了自适应波束形成算法的基本分类，本章将对基于训练序列的自适应波束形成的经典算法——LMS、RLS、SMI算法进行深入的分析和研究[7]，重点分析LMS算法的性能。
3.2最小均方算法
上个世纪60年代，最小均方（LMS）算法被提出，因为其计算简单、易于实现的特点，现在已经被广泛运用在辨别系统、均衡信道、抵消回波、编码线性预测等多个自适应滤波应用领域。本节将介绍算法的推导过程并得出性能仿真结果。
3.2.1最小均方算法的原理
最小均方（LMS）算法是基于最陡下降法和小均方误差准则的算法。LMS算法利用随机梯度下降法实现代价函数最小化的过程，也就是基于相关函数的瞬时值来进行梯度向量的估计。在算法推导过程中，用瞬时均方误差代替均方误差可得
（3-1）
为求得式（3-1）的最小值，对其求导得
（3-2）
令式（3-2）的函数值为零求得最优维纳解
（3-3）
其中，信号特征统计量，借助于其瞬时估计值得出：
（3-4）
虽然可以用，直接求得最佳权值，但是求矩阵的逆会增加算法的复杂度。最陡梯度法是一种可以避免矩阵求逆的方法，其本质是一种递归的算法，利用一步接着一步迭代的方法进行计算最后得到权值的结果。
其迭代公式为
（3-5）
详细来说，在每一次迭代进行时，权矢量可以按照一定比例，沿着误差性能曲面的梯度估值的负方向进行更新，一直迭代至获得。将（3-2）式的相关变量代入（3-5）式式便可以得到LMS算法的权向量的更新公式
（3-6）
为步长因子，是一个正常数。为了保证算法的收敛性，务必选择合适的值。为保证LMS算法的收敛性及稳定性，必须满足以下条件：
（3-7）
其中为的自相关矩阵的特征值最大值。
3.2.2仿真实验与结果分析
因为LMS算法的稳态误差和收敛速度由控制，所以为了产生较快的收敛速度，应该选择较大的，但是会导致权向量仅仅收敛到附近的一个较大的邻域内，而无法进一步收敛；反之，如果选择较小的，可以收敛到附近的一个很小的邻域内，但是收敛速度会相应变得非常缓慢，如图3-1所示。由此可见，传统LMS算法无法同时兼顾收敛速度和稳态误差，所以怎样在计算过程中提高收敛速度并具备较小的稳态误差，将成为一个具有重要意义的问题。另外，LMS算法还有一个需要克服的问题，就是算法受到特征值扩展度的影响较大[9]。
图3-1不同步长因子下的LMS算法的收敛曲线
将LMS算法应用于自适应波束形成模型中，基本仿真参数包括：天线阵元数为16，天线阵元间距，信号源方向为0°，干扰信号方向为20°，信噪比SNR为20dB，干噪比INR为10dB，仿真的拍数为10000。LMS算法的自适应波束形成图如图3-2所示。
图3-2不同步长因子下的LMS算法成形的波束图
3.3递归最小二乘法
RLS是按时间进行迭代计算，求解最小二乘的确定性正则方程，其目的是通过调整权向量使阵列输出的均方误差最小化。
3.3.1递归最小二乘法的原理
RLS算法的代价函数为
（3-8）
令，得
（3-9）
其中需满足，是接近于1的正常数，其作用是削弱旧的数据对当前估计数据的影响。且。
权系数的迭代方程为
（3-10）
其中，增量k(n)和误差的计算公式为
（3-11）
（3-12）
式（3-11）中，即为当前时刻自相关矩阵的逆矩阵。为遗忘因子，它是小于等于1的正数。
的更新公式为
（3-13）
由此可见，RLS算法运用了矩阵求逆引理，通过递推法则对求逆矩阵进行运算，也就是递归进行矩阵求逆，因此避免了对矩阵直接求逆将产生的巨大运算量，同时也使RLS算法具有不易受特征值扩展度影响的特质。
3.3.2仿真实验与结果分析
RLS算法一定是收敛的，且收敛速度远快于LMS算法的收敛速度。其中对RLS算法的性能起决定性作用的参量是遗忘因子λ，它可以让离当前时刻较近的误差具有更大权重，而较远的误差的权重降低，从而能逐渐“遗忘”之前观测到的数据。λ越小，系统的跟踪能力随之增强，收敛性能越好；λ越大，系统跟踪能力减弱，均方误差也越小，如图3-3所示。
图3-3不同遗忘因子下的RLS算法的收敛曲线
将RLS算法应用于自适应波束形成模型中，基本仿真参数包括：天线阵元数为16，天线阵元间距，信号源方向为10°，干扰信号方向为50°，信噪比SNR为20dB，干燥比INR为30dB，仿真的拍数为10000。RLS算法的自适应波束形成图如图3-4所示。可以看出，虽然RLS算法的收敛速度远快于LMS算法，且在干扰信号方向的零陷更深，但是波束形成图效果一般，容易形成旁瓣，从而进一步导致能量泄漏。
图3-4不同遗忘因子下的RLS算法成形的波束图
3.4采样矩阵求逆法
采样矩阵求逆算法又称直接矩阵求逆算法。SMI算法能够直接将权向量收敛到附近的一个很小的邻域内，从而克服协方差矩阵特征值分散对加权矢量收敛速度的影响，因此，SMI算法可以达到很高的处理速度。
3.4.1采样矩阵求逆法的原理
根据最大似然（LS）准则，对信号矢量x进行采样，可得到自相关和互相关的最佳估计分别为
（3-14）
（3-15）
其中n为构成训练问题的采样样本数。
可以看出当n→∞时，，这一估计被称为采样相关矩阵。对平稳数据，采样样本数越大，相关矩阵的估计越好。
用和代替式（3-14）和式（3-15）中的和进行权值计算可以得到
（3-16）
最优权值的计算公式为：
（3-17）
其中u为常数，为输入信号的采样协方差矩阵；为期望信号的导向矢量。
3.4.2仿真实验与结果分析
由3.3.1中SMI算法的理论推导过程可知，用于计算采样相关矩阵的瞬态映像的总数n称为采样支持。对平稳数据，采样样本数越大，相关矩阵的估计越好。
SMI算法在不同样本数下的收敛曲线如图3-5所示，可以看出，SMI算法与RLS算法类似，都是绝对收敛的。
将SMI算法应用于自适应波束形成模型中，基本仿真参数包括：天线阵元数为16，天线阵元间距，信号源方向为10°，干扰信号方向为40°，信噪比SNR为20dB，干燥比INR为30dB，仿真的拍数为5000。
SMI算法在不同样本数下的自适应波束形成图如图3-6所示，虚线为概率均值意义下的理想波束模式。可以看出，随着训练样本的增加，SMI波束模式越接近理想波束模式。
RLS和SMI的主要区别在于，SMI算法以数据块为单位对和进行估计，而RLS算法的数据区间是以滑动窗形式进行观察。具体来说，SMI以数个连续采样长度为单位，将接收到的信号序列划分为若干个数据块，依次对每个数据块进行估计并产生权值，每个数据块更新一次权值，而在RLS算法中是每接收到一个新采样的信号就会有一次权值的更新。
图3-5不同样本数下的SMI算法的收敛曲线
图3-6不同样本数下的SMI算法成形的波束图
SMI与RLS算法统计量及权值更新方式比较如下：
SMI算法：
数据块1统计量估计和权值生成数据块2统计量估计和权值生成…
………
………
………
RLS算法：
n采样时刻统计量估计与权值生成
n-1采样时刻统计量估计与权值生成
…
……
…
3.5本章小结
自适应波束形成的关键就是波束形成算法，波束形成算法也对天线阵列系统性能的完善性起着至关重要的作用。本章介绍了三种经典的基于训练序列的自适应波束形成算法：LMS算法、RLS算法和SMI算法，并分别将三种算法应用于自适应波束形成模型中，重点研究了步长因子对LMS算法性能的影响，遗忘因子对RLS算法性能的影响，以及样本长度对SMI算法性能的影响。
第4章
变步长LMS波束形成算法
4.1引言
传统LMS算法采用固定的步长因子，无法同时兼顾收敛速度和稳态误差，所以怎样在计算过程中提高收敛速度并具备较小的稳态误差，成为研究者重点关注的问题。因此，人们提出了诸多改进LMS算法，主要分为两大类：变步长LMS算法和变换域LMS算法。本章主要介绍变步长LMS算法。
4.2变步长LMS算法的分类
变步长LMS算法的基本思想是，当滤波系统更新的权值接近最佳权系数时，选取小步长，确保算法的稳态误差很小；当滤波系统更新的权值与最佳权系数有较远距离时，采用较大步长，加快算法的收敛速度。目前比较典型的变步长算法可分为三大类，将在本节作出介绍。
4.2.1第一类变步长LMS算法
第一类变步长LMS算法是用前一个时刻的步长来改变当前的步长。Kwong R.H等人提出的一种变步长LMS算法[10]，通过瞬时误差的平方来控制改变步长，在均方误差较大时让步长也较大，从而得到较快的收敛速度。
权系数的迭代公式为
（4-1）
步长的迭代公式为
（4-2）
其中，。该算法是第一类VSSLMS算法的经典算法。
经典的固定步长LMS算法和VSSLMS算法的收敛曲线比较图如图4-1所示，可以看出，VSSLMS算法的收敛性能略优于LMS算法。
图4-1 LMS算法与VSSLMS算法的收敛曲线比较图
4.2.2第二类变步长LMS算法
第二类变步长LMS算法是采用一定的函数关系达到调整步长的目的，一般与误差或输入信号的平方归一化形式有关，因此可以将NLMS算法[11]看作这类算法的基础。
NLMS算法的权向量更新矩阵式为
（4-3）
其中为修正因子，通常选择较小的正常数。控制NLMS算法步长的部分是式（4-3）的分式部分。
一种经典的改进NLMS算法——MNLMS算法[12]，其权向量更新矩阵式为
（4-4）
其中控制MNLMS算法步长的部分是式（4-4）的分式部分。其算法性能比经典NLMS算法的性能好很多。
经典的固定步长LMS算法和MNLMS算法的收敛曲线比较图如图4-2所示，可以看出，MNLMS算法的收敛性能远优于LMS算法。
图4-2 LMS算法与MLMS算法的收敛曲线比较图
4.2.3第三类变步长LMS算法
第三类变步长LMS算法是采用非线性函数来达到调整步长的目的，该类算法在国内的研究比较广泛。覃景繁等人提出的一种经典算法——SVSLMS算法[13]，建立了一种误差与步长因子之间的非线性函数关系，能够兼顾收敛速度和稳态误差，其步长因子是误差的函数：
（4-5）
其中、均为常数，控制函数的形状，控制函数的取值范围。
此外，这类算法还发展出了很多改进算法。Gao Hui等人提出的基于箕舌线变步长LMS算法[14]中步长因子关于误差的函数为
（4-6）
其中、均为常数，控制函数的形状，控制函数的取值范围。
4.3仿真实验与结果分析
一种基于相关特性的改进箕舌线变步长LMS算法[15]近年来被路翠华等人提出，该算法是文献[13]的改进算法，其相关公式为
（4-7）
（4-8）
（4-9）
其中为输入信号矢量，为权值，为期望信号，为常数。
经典的固定步长LMS算法和该变步长LMS算法的收敛曲线比较图如图4-1所示，可以看出，变步长LMS算法的收敛性能是远优于LMS算法的。
图4-1经典LMS和变步长LMS算法的收敛曲线比较
将经典的固定步长LMS算法和该变步长LMS算法应用于自适应波束形成模型中，基本仿真参数包括：天线阵元数为16，天线阵元间距，信号源方向为10°，干扰信号方向为40°，信噪比SNR为20dB，干噪比INR为10dB，仿真的拍数为10000。
可以看出，变步长LMS算法的收敛速度明显快于LMS算法，且在干扰信号方向的零陷更深，算法的性能更好。
